Presentacion

NADIA ARELI JUAREZ HERNANDEZ

VANESSA PEREZ VELAZQUEZ

ESMIRNA PEREZ TORIZ

MARGARITA OJEDA HERNANDEZ

6° "C"

Video Calculo Integral

Area y Volumen

Cálculo de área

Area  bajo una curva.

Pasos a seguir para el cálculo del área bajo la curva

Entre dos curvas

Pasos a seguir para el cálculo del área entre dos curvas.

 Ejemplo:

Área

1.- Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas  de f(x)=3x³-x²-10x   y  g(x)=-x² +2x

2.- Calcular el área de la región limitada de x=3-y²  e  Y=X-1

3.- Calcular el área de la región acotada:

a) y= x²-6x  y el eje x

b) y= x² +2x+1    y   y=2x+5

c) y= x² -4x+3  y  y=  - x² +2x+3

d) y = x²   y y=x³

e) y =3(x³ –x)  y el eje x

f) y=(x-1)²   y Y=x-1

4.- Calcular el área:

a) Y= x+1,  el eje x

b) y = 3-2x- x². El eje x

c) y= x² +2x+1    y  y=3x+3

Volumen de sólidos en revolución

 El volumen se encuentrar por la rotación de una figura plana (el área de la curva se hace girar en el eje de coordenadas).El eje de rotación bien puede estar ubicado en el eje de coordenadas como en una recta cualquiera.  Hay tres métodos para encontrar este volumen dependiendo de la ubicación del diferencial y el sólido.

Cuadro comparativo de los métodos

Métodos Características	Disco	Arandela	Capas
Figura	Sólida	Hueca	Sólida o hueca
Diferencial con respecto al eje de rotación	Perpendicular	Perpendicular	Paralelo
El diferencial esta acotado por	Una curva y el eje de rotación	Por dos curvas	Por dos curvas (incluso un eje de coordenadas)

1.- Método del disco

Es para figuras sólidas, por lo tanto el diferencial esta acotado por una y el eje de rotación, el diferencial es perpendicular al eje de rotación. Para este tipo de ejercicios es de vital importancia la contrucción correcta de las graficas ( eso fue explicado en el contenido anterior). La deducción de la fórmula:

Se rebanó la figura y se obtiene :

 

El volumen  de este disco es:   

V= A e

Donde:  A = área 

              e= espesor del disco.

         El espesor no sólo del disco sino también de los otros métodos es igual al diferencial.

         El área corresponde:

 

         El radio es la distancia que hay entre el eje de rotación y la figura.

 

Ejemplo:

Encontrar el volumen del sólido que se genera al rotar :

1. Rota alrededor del eje x
2. Rota alrededor de la recta x=4

 Solución

 2.- Método de la arandela

   Es para figuras huecas, por lo tanto el diferencial esta acotado por dos curvas.El deferencial es perpendicular al eje de rotación.

Radio exterior: distancia entre el eje de rotación y la parte extrna de la figura.
Radio interior: distancia entre el eje de rotación y la parte interior, cooresponiente al hueco.
Espesor:  es una variación de x.

 

3.- Métrodo de capas

     Este método establece que el diferencial es paralelo al eje de rotación, lo que indica que este no lo acota, sino la o las curvas. Es factible su uso en figuras huecas o sólidas.

Ejemplo

Cálculo de Volumen

Integrales Trigonométricas

Integrales Trigonométricas

Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.

Caso 1

Integrales de la forma

Identidad trigonométrica

 cos² x + sen² x =1

Protocolo a seguir

Ejemplo

Integrales de la forma:

La identidad trigonométrica 

Protocolo a seguir:

Ejemplo

Caso 3

Integrales de la forma

Identidad trigonométrica

cos² x + sen² x =1

 

Cuando los dos son impares  se toma al menor para que la integral quede mas sencilla

b.- Cuando los dos son pares

Ejemplo

Caso 4

Integrales de la forma 

También funciona para las funciones cosecante,  cotangente.

Identidad trigonométrica

tg² x +1 = sec² x

cTg² x +1 = csc² x

Protocolo a seguir según el caso:

1.    Si la potencia de la secante es positiva y par, se queda un factor de la secante al cuadrado y se convierte los restantes en tangente. Al igual que en el caso 1 se fuerza un cambio de variable

 

2.    Si la potencia de la tangente es positiva e impar, se queda un factor secante –tangente (funciona como la derivada)  y convertir el resto en secante.

1.     







3.-Si no hay factores de la secante y la potencia de tangente es positiva, se convierte     un   factor tangente cuadrado en secante. Se desarrolla y se repite el proceso tantas veces  Como sea necesario 

4.    Si la integral es de la forma     , con n impar y positivo, se usa la integración por partes.

5.    Si no se aplica ninguno de estos casos, se convierte  en integral seno coseno.

Ejemplo

Casos especiales  

Sen mx sen nx =½ (cos [(m-n) x] – cos [(m+n)]x])

Sen mx cos nx = ½ (sen [(m-n) x] + sen [(m+n)]x])

cos  mx cos nx =½ (cos [(m-n) x] – cos [(m+n)]x])

Ejercicios

Integrales  Completación de cuadrados o que contienen un trinomio cuadrado

Integrales de la forma

Entre otras formas

Este artificio está basado en la completación de cuadrados, es decir, tratar que el denominador se convierta en un binomio al cuadrado más un término independiente. Como se muestra a continuación:

Ejemplo: