Area y Volumen

Cálculo de área

Area  bajo una curva.

Pasos a seguir para el cálculo del área bajo la curva

Entre dos curvas

Pasos a seguir para el cálculo del área entre dos curvas.

 Ejemplo:

Área

1.- Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas  de f(x)=3x³-x²-10x   y  g(x)=-x² +2x

2.- Calcular el área de la región limitada de x=3-y²  e  Y=X-1

3.- Calcular el área de la región acotada:

a) y= x²-6x  y el eje x

b) y= x² +2x+1    y   y=2x+5

c) y= x² -4x+3  y  y=  - x² +2x+3

d) y = x²   y y=x³

e) y =3(x³ –x)  y el eje x

f) y=(x-1)²   y Y=x-1

4.- Calcular el área:

a) Y= x+1,  el eje x

b) y = 3-2x- x². El eje x

c) y= x² +2x+1    y  y=3x+3

Volumen de sólidos en revolución

 El volumen se encuentrar por la rotación de una figura plana (el área de la curva se hace girar en el eje de coordenadas).El eje de rotación bien puede estar ubicado en el eje de coordenadas como en una recta cualquiera.  Hay tres métodos para encontrar este volumen dependiendo de la ubicación del diferencial y el sólido.

Cuadro comparativo de los métodos

Métodos Características	Disco	Arandela	Capas
Figura	Sólida	Hueca	Sólida o hueca
Diferencial con respecto al eje de rotación	Perpendicular	Perpendicular	Paralelo
El diferencial esta acotado por	Una curva y el eje de rotación	Por dos curvas	Por dos curvas (incluso un eje de coordenadas)

1.- Método del disco

Es para figuras sólidas, por lo tanto el diferencial esta acotado por una y el eje de rotación, el diferencial es perpendicular al eje de rotación. Para este tipo de ejercicios es de vital importancia la contrucción correcta de las graficas ( eso fue explicado en el contenido anterior). La deducción de la fórmula:

Se rebanó la figura y se obtiene :

 

El volumen  de este disco es:   

V= A e

Donde:  A = área 

              e= espesor del disco.

         El espesor no sólo del disco sino también de los otros métodos es igual al diferencial.

         El área corresponde:

 

         El radio es la distancia que hay entre el eje de rotación y la figura.

 

Ejemplo:

Encontrar el volumen del sólido que se genera al rotar :

1. Rota alrededor del eje x
2. Rota alrededor de la recta x=4

 Solución

 2.- Método de la arandela

   Es para figuras huecas, por lo tanto el diferencial esta acotado por dos curvas.El deferencial es perpendicular al eje de rotación.

Radio exterior: distancia entre el eje de rotación y la parte extrna de la figura.
Radio interior: distancia entre el eje de rotación y la parte interior, cooresponiente al hueco.
Espesor:  es una variación de x.

 

3.- Métrodo de capas

     Este método establece que el diferencial es paralelo al eje de rotación, lo que indica que este no lo acota, sino la o las curvas. Es factible su uso en figuras huecas o sólidas.

Ejemplo

Cálculo de Volumen