Integrales Trigonométricas

Integrales Trigonométricas

Son aquellas integrales que tienen funciones trigonométricas elevadas a exponentes. Para su mejor comprensión se ha separado en diferentes  casos.

Caso 1

Integrales de la forma

Identidad trigonométrica

 cos² x + sen² x =1

Protocolo a seguir

Ejemplo

Integrales de la forma:

La identidad trigonométrica 

Protocolo a seguir:

Ejemplo

Caso 3

Integrales de la forma

Identidad trigonométrica

cos² x + sen² x =1

 

Cuando los dos son impares  se toma al menor para que la integral quede mas sencilla

b.- Cuando los dos son pares

Ejemplo

Caso 4

Integrales de la forma 

También funciona para las funciones cosecante,  cotangente.

Identidad trigonométrica

tg² x +1 = sec² x

cTg² x +1 = csc² x

Protocolo a seguir según el caso:

1.    Si la potencia de la secante es positiva y par, se queda un factor de la secante al cuadrado y se convierte los restantes en tangente. Al igual que en el caso 1 se fuerza un cambio de variable

 

2.    Si la potencia de la tangente es positiva e impar, se queda un factor secante –tangente (funciona como la derivada)  y convertir el resto en secante.

1.     







3.-Si no hay factores de la secante y la potencia de tangente es positiva, se convierte     un   factor tangente cuadrado en secante. Se desarrolla y se repite el proceso tantas veces  Como sea necesario 

4.    Si la integral es de la forma     , con n impar y positivo, se usa la integración por partes.

5.    Si no se aplica ninguno de estos casos, se convierte  en integral seno coseno.

Ejemplo

Casos especiales  

Sen mx sen nx =½ (cos [(m-n) x] – cos [(m+n)]x])

Sen mx cos nx = ½ (sen [(m-n) x] + sen [(m+n)]x])

cos  mx cos nx =½ (cos [(m-n) x] – cos [(m+n)]x])

Ejercicios

Integrales  Completación de cuadrados o que contienen un trinomio cuadrado

Integrales de la forma

Entre otras formas

Este artificio está basado en la completación de cuadrados, es decir, tratar que el denominador se convierta en un binomio al cuadrado más un término independiente. Como se muestra a continuación:

Ejemplo: