Métodos de integración ( Integral cambio de variable)

Métodos de integración

La integración tiene algunos métodos, llamados técnicas de integración que permiten reducir ciertas integrales a otra ya conocidas (la tabla). Entre esas técnicas se tiene el cambio de variable que se estudia a continuación.

1.- Cambio de Variable o Sustitución

Esta técnica no es otra cosa que  la regla de la cadena de   las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su  integral.

∫f(gx) g^!x dx = F(gx) + C

 

Ejercicios 

Integración por partes

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación

d(u.v) = u dv + v du

por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.

∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du   (se integra en ambos lados de la fórmula)

(u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral)

∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de  la integración por partes)

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera

1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar,

2.- En u deben ir  aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada  es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.

Una de las reglas para   saber si  el procedimiento realizado es correcto  la integral resultante debe ser más sencilla que la original o sino de igual dificultad.

 

Ejemplo

  

Se aplica la fórmula de la integración por partes, el procedimiento se puede repetir tantas veces como la integral lo amerite. La constante de Integración solo  debe considerase en la integral principal no en la que completa la fórmula.

Ejemplo 2

 

 La  siguiente integral no se le puede aplicar la integración por partes directamente, se tiene que realizar un cambio de variable previo. Al observar que la función exponencial en su exponente genera una derivada y que esta debe estar dentro de la integral. 

  

El siguiente ejercicio se conoce como integrales cíclicas, puesto que reaparece la original y debe despejarse como se demuestra a continuación: